Bài 2:

a)Ta có: \({\left( {x + 2y} \right)^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right) \Rightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{2} \ge \sqrt {\dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{4}} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{2} \ge \dfrac{{\left| {x + 2y} \right|}}{2} \)Mặt khác ta cũng có:

\( \dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3} = \dfrac{{3{{\left( {x + 2y} \right)}^2} + {{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}{{12}} \ge \dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{4}\\ \Rightarrow \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}} \ge \dfrac{{\left| {x + 2y} \right|}}{2} \)

Từ đó suy ra: \(\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 4{y^2}}}{2}} + \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}} \ge \left| {x + 2y} \right| \ge x + 2y \)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=2y\ge0\)

Thay vào phương trình còn lại ta thu được:

\({x^4} - {x^3} + 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2} \)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right) \)

\(\boxed{Nguyễn Thành Trương}\)

Bài 1: a liên hợp là ra mà nhỉ?

a) ĐK: \(x>-3\)

Mặt khác \(PT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{x+3}}-2+\sqrt{\frac{5}{x+4}}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{x+3}-4}{\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2}+\frac{\frac{5}{x+4}-4}{\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(x+\frac{11}{4}\right)}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2\right)}+\frac{-\left(x+\frac{11}{4}\right)}{\left(x+4\right)\left(\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2\right)}=0\) (quy đồng cái tử lên thôi)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{11}{4}\right)\left[\frac{-1}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2\right)}+\frac{-1}{\left(x+4\right)\left(\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2\right)}\right]=0\)

Cái ngoặc to nhìn liếc qua cũng thấy nó < 0.

Do đó \(x=-\frac{11}{4}\)

P/s: Về cơ bản hướng làm là vậy, khi là sẽ có thể có những sai sót, do em bị hư máy tính cầm tay:v. Đang rất GP đây này@@

2b)(ko chắc nha, nhưng cứ muốn làm:V)

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y}{2x+1}=\frac{\sqrt{2x+1}+1}{\sqrt{y}+1}\left(1\right)\\4x^2+5=y^4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

ĐK:...

Đặt \(\sqrt{2x+1}=a>0;\sqrt{y}=b\ge0\)

(1) \(\Leftrightarrow\frac{b^2}{a^2}=\frac{a+1}{b+1}\Leftrightarrow a^3+a^2=b^3+b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+a+b\right)=0\)

+)Xét cái ngoặc phía sau: \(a^2+ab+b^2+a+b\)

\(=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+a+b\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=-\frac{b}{2};b^2=0;a=0;b=0\)

\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2};y=0\). (KTM vì mẫu phân số khác 0 và đk của a:v)

+)Với a = b thì \(\sqrt{2x+1}=\sqrt{y}\Rightarrow y=2x+1\)

Thay vào pt dưới: \(4x^2+5=\left(2x+1\right)^2\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=3\)

Vậy x = 1; y =3

Lời giải:

ĐK \(x,y,z\geq \frac{1}{4}\)

\(\text{HPT}\Rightarrow 2(x+y+z)=\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\sqrt{4x-1}=\sqrt{(4x-1).1}\leq \frac{4x-1+1}{2}=2x\)

Tương tự với các biểu thức còn lại.....

\(\Rightarrow \sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\leq 2(x+y+z)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} 4x-1=1\\ 4y-1=1\\ 4z-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\\ z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy HPT có nghiệm \((x,y,z)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)

x = y = z = 0,5